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On peut procéder par dichotomie pour faire la démonstration. En considérant qu'il n'y a qu'un enfant par naissance, que les chances de naissance d'un garçon ou d'une fille sont équiprobables, et qu'il un nombre fini de familles pouvant leur donner naissance, on peut procéder par étape. Je prends un échantillons de 16 familles pour ma démonstration (oui, petit royaume).
Première étape, toutes les familles ont un enfant. La moitié d'entre elle ont un fille et l'autre moitié un garçon. Donc à la première naissance il y a un nombre égal de fille de garçon, soit 8 filles et 8 garçons.
Seconde étape, seules les 8 familles ayant eu un garçon ont un second enfant. La moitié d'entre elles a un garçon l'autre moitié une fille. Donc, ça fait 4 garçons de plus et 4 filles de plus à la secondes naissance. (12 de chaque en tout).
Troisième étapes, les 4 familles qui ont eu un garçon recommencent. 2 garçons et 2 filles de plus (14 de chaque).
Quatrième étapes, 2 familles procréent. 1 garçon et 1 fille en plus (15 de chaque).
Il ne reste qu'une famille en droit de procréer. Si elle met au monde un garçon, le prochain enfant sera une fille, donc ça nous mène à 16 de chaque. Si le prochain est une fille, ça donne plus de fille que de garçon.

En partant d'un nombre qui ne se divise pas aussi bien par deux à chaque fois, genre 9 et qu'on favorise les garçons au premier tour pour éviter de se retrouver avec un hermaphrodite, ça donne 5/4 au premier tour, 2/3 au second pour équilibrer les probabilité, puis 1/1, puis la règle que j'ai donné avant. Dans un monde idéal je dirai donc qu'il y a autant de fille que de garçon à la fin de l'histoire voire une fille de plus si le dernier couple qui a le droit de procréer n'a pas de bol.

Childéric parle de longueur aussi grande que l'on veut. Notons L cette valeur. On cherche une valeur X telle que pour tout k dans [1,...,L], X+k n'est pas premier. L'astuce, c'est de définir X tel que pour tout k, il existe un entier y tel que X = k*y. De la sorte, X+k = k*(y+1) et est divisible par k et y+1 donc non premier. Attention cependant, le résultat n'est pas vrai pour k=1 (car il faudrait alors que y+1 soit non premier, et ce n'est pas garanti a priori) ; ce n'est pas grave : on rajoute 1 à la valeur L et on est tranquille.
Comment s'assurer que X vérifie la propriété qu'on souhaite obtenir, à savoir que X = k*y pour tout k dans [2,...,L] ? Hé bien, il suffit de choisir X = 2 * 3 * 4 * ... * L = L! (factoriel L). On pourrait choisir X plus petit, soit dit en passant. L'intervalle [X+2,...,X+L] ne comporte pas de nombre premier. CQFD.

Kroc a intérêt à changer de porte. Les résultats ne sont pas forcément intuitifs. Il faut noter que Childéric a oublié de préciser quelque chose : quand le présentateur décide d'ouvrir une porte, il choisit exprès une porte qui mène à une oubliette. Il peut le faire parce que 1/ il sait où sont les oubliettes et 2/ il reste toujours au moins une porte menant à une oubliette.

Lorsque Kroc choisit la première, parce qu'il n'est pas nain, il choisit la bonne porte avec probabilité 1/3 et une mauvaise porte avec probabilité 2/3. Si la première porte choisie était la bonne, changer de porte signifie qu'on tombe sur une oubliette (donc, on a une proba 1/3 de tomber sur une oubliette). Si, au contraire, la première porte choisie était une des mauvaises portes, changer de porte signifie qu'on tombe sur le trésor (donc, on a une proba 2/3 de tomber sur le trésor).
On passe donc de 1/3 de proba de trouver le trésor à 2/3.

On peut directement écarter un joueur de chaque tour, car 1024 étant une puissance de 2, on n'obtiendra pas un nombre impair de joueur avant d'avoir fait s'affronter les 2 derniers, donc on n'obtiendra pas un nombre total de joueur pair (en comptant le tiré au sort de chaque tour) avant d'avoir sélectionné le dernier de 1024 des 1025 joueurs. Il faut 1023 matchs (512 pour départager les 1024 premiers, +256 pour les 512 suivants, etc.) pour départager 1024 joueurs en réalisant 10 tours, et il faut mener un match de plus pour départager le tiré au sort du dixième tour avec le vainqueur du dixième tour, soit 204 matchs en tout.

Si la proportion d'eau dans le concombre a doublé, c'est que la masse d'eau a diminué de moitié

Il y avait 500 kg de concombre, donc 495 kg d'eau (et 5kg de légumineuse verdâtre)

le lendemain il restera 247,5 kg d'eau + 5 kg de concombre proprement dit soit 252,5 kg